esercizio tipo sull'interpretazione delle formule per il dimensionamento delle travi

Come promesso vi posto un esempio di esercizio sull'interpretazione pratica delle formule di massimo momento flettente e di massima sollecitazione o freccia.
Supponiamo di avere una trave caricata come in figura
Tale trave ha sezione quadrata di 200 mm x 200 mm
Dire l'altezza di una trave rettangolare di base 100 per avere la medesima freccia di quella quadrata.



SOLUZIONE.
Innanzitutto dobbiamo andare sulle tabelle a cercare la formula della freccia e dei momenti di inerzia.
La formula della freccia per questa configurazione è la seguente:





Mentre i momenti di inerzia valgono:
- per la sezione quadrata I=H^4/12   (^4 sta per "elevato alla quarta")
- per la sezione rettangolare I=b*h³/12

Se le due travi devono avere la stessa freccia, significa che sostituendo i momenti di inerzia al posto della I nella formula della freccia, dovrò ottenere due valori uguali. Ma questo implica che le due I siano uguali. Quindi H^4/12=b*h³/12
il /12 è uguale da ambo le parti quindi possiamo eliminarlo. Così rimane:
H^4=b*h³ 
H vale 200 mm mentre b vale 100.
Sostituendo ottengo: 200^4=100*h³
allora h³=200^4/100=16.000.000
quindi h=252 mm.
Da notare come l'area della sezione rettangolare sia inferiore a quella di sezione quadrata (25.200 contro 40.000) e quindi a parità di prestazioni comporti un costo inferiore della trave. Infatti per un carico di questo genere la forma rettangolare è più efficiente di quella quadrata.

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